Ejercicios de semántica proposicional.

Determinar si los siguientes razonamientos son válidos traduciéndolos al lenguaje de la lógica proposicional y empleando "tablas de verdad".


I.

 Si Eudoxo fue posterior a Euclides, su obra matemática no fue original. Su obra matemática, sin embargo, sí fue original. Por tanto, Eudoxo no fue posterior a Euclides.

 II.

Si Pitágoras tomó partido por la aristocracia, no fue respaldado por el partido democrático de la ciudad de Crotona. Efectivamente, el partido democrático de Crotona no respaldó a Pitágoras. Inferimos que Pitágoras tomó partido por la aristocracia.

III.

O la matemática es consistente, o habremos vivido engañados por nuestra intuición y no tendremos más confianza en ninguna prueba. La matemática no es consistente. Por tanto, no tendremos más confianza en ninguna prueba.

Ejercicios elementales de práctica de reglas de inferencia.


De las siguientes premisas, derivar la mediante reglas de inferencia conclusión indicada:







1. p&q  (Prem.)   Derivar: q&p



1. p&q  (Prem.)  Derivar: (p&q) & (q&p)




1. p & (q&r)  (Prem.)  Derivar: (p&q) & r




1. p  (Prem.)  
2. q&r   (Prem.)   Derivar: r & p





1. (p&q) ---> r   (Prem.)
2. p                    (Prem.)
3. p--->q             (Prem.)    Derivar:  r&p





1. pvq             (Prem.)
2. s--->-p         (Prem.)
3. s&t              (Prem.)    Derivar: q  (sugerencia: use en algún momento la regla de silogismo disyuntivo; si no conoce el silogismo disyuntivo, espere o averigüe).



1. p & s   (Prem.)   Derivar: p v -q

Solución a ejercicio planteado en clase 

a) Mostrar que la siguiente forma es inválida hallando un contraejemplo para la misma (es decir, mostrando con un ejemplo de sustitución concreto - sustituyendo A, B, C por predicados castellanos apropiados - que las premisas pueden ser verdaderas sin que lo sea la conclusión, y que por tanto esta forma de razonar nos puede llevar de premisas V a conclusión F.)
    Algún A es B
Algún B es C
...............................
Algún A es C

b) Mostrar, con otras sustituciones, que esta forma inválida puede llevarnos también de premisas V a conclusión V, de premisas F a conclusión V y de premisas F a conclusión F.


Solución posible.

a)  tomando A = número primo; B = número par; C= número divisible por 6, quedaría el siguiente contraejemplo:

Algún número primo es par (V)
Algún número par es divisible por 6 (V)
-----------------------------------------------
Algún número primo es divisible por 6 (F)

Por si no les gustan los números en absoluto, va otro contraejemplo:


 Algún africano es negro  (V)
Algún negro es colombiano (V)
------------------------------------
Algún africano es colombiano  (F)


b) Forma dada con premisas V y conclusión V

Algún cristiano es argentino  (V)
Algún argentino es católico   (V)
-----------------------------------------------
Algún cristiano es católico    (V)



Forma dada con premisas F y conclusión V

Algún cristiano es judío  (F)
Algún judío es católico (F)
--------------------------------------
Algún cristiano es católico (V)


 Forma dada con premisas F y conclusión F

Algún cristiano es judío   (F)
Algún judío es musulmán  (F)
----------------------------------
Algún cristiano es musulmán (F)


Esto muestra que las formas inválidas de razonar podrían llevarnos de cualquier valor de verdad en las premisas a cualquier valor de verdad en la conclusión.



 

Solución razonada al problema de los políticos. 

  Lo resolvimos aproximadamente así. Una clave para resolver el problema es plantearse qué respondería un político a la pregunta planteada ("¿Sos un político?"), y qué habría que esperar que respondiese alguien que no es político.    
   Si el interrogado es político, sin duda mentirá sobre su condición y responderá que no es político. ¿Y si el interrogado no es político? Uno puede estar tentado a pensar que debe responder lo contrario de lo que responde un político, pero esta impresión es errada. Un no político dice la verdad, y por tanto dirá, justamente, que no es político. Su respuesta, pues, va a ser la misma que la de un político: ambos dirán que no son políticos. Pero esto quiere decir que en esta comunidad cualquier nativo responderá que él no es político.
   Esta primera conclusión nos ayuda mucho. Porque quiere decir que el segundo nativo dijo la verdad al asegurar que el primero había respondido que no era político. Ergo, concluimos que el segundo nativo no es político. ¿Qué podemos decir del primero y del tercero? El primero - como acabamos de ver - dijo no ser político, mientras que el tercero dijo que el primero sí es político, es decir, el tercero nos dice que el primero dijo algo falso. Es claro entonces que uno de ellos está mintiendo y el otro (que dice lo opuesto) está diciendo la verdad: uno de ellos es político y el otro no. Por otra parte, ya hemos concluido que el segundo nativo no es político. Se sigue pues que de los tres nativos uno solo es político (y además, que ese político es o bien el primero o bien el tercero).

Envío dos soluciones (hechas por alumnos/as de este curso) al problema de los sombreros. Una está bien (buena redacción y buena argumentación) y la otra mal (es inentendible el sentido de su argumentación, si es que la hay; y la redacción es sumamente deficiente). Es útil comparar sus propias soluciones (y sobre todo sus explicaciones) con la primera. También pueden comparar sus soluciones al problema de los 0s y 1s con la que dejé en el blog.


Primera solución.

El problema se puede resolver en dos etapas que utilizan razonamientos por reducción al absurdo (suponer lo contrario de lo que se quiere probar y mostrar que esa suposición nos lleva a absurdos o inconsistencias).

PRIMERA ETAPA. Demostramos que B y C no tienen (ambos) sombrero blanco. Supongamos que así fuera. Entonces A, al verlos, habría deducido que tiene sombrero rojo, ya que había sólo dos sombreros blancos. Como no lo hizo, concluimos que B y C no tienen, los dos, sombrero blanco, es decir que alguno por lo menos tiene sombrero rojo.

SEGUNDA ETAPA. Mostramos que C tiene sombrero rojo, también por reducción al absurdo. Supongamos que tuviera sombrero blanco. Entonces, como B ya sabía que o él (B) o C tiene un sombrero rojo (habiendo hecho el razonamiento que hicimos nosotros en la PRIMERA ETAPA), al ver que C tiene un sombrero blanco habría deducido que es él (B) quien tiene el sombrero rojo. Como no pudo deducir nada, concluimos que C NO tiene sombrero blanco (o sea, tiene sombrero rojo; lo que debíamos demostrar). Razonando de esta manera, C pudo salvarse.


Segunda solución

Podemos suponer que B y C tienen uno un sombrero rojo y otro blanco porque el carcelero trata de engañarlos y hay sólo dos sombreros blancos pero la respuesta de A lo delata es errónea la deducción que hace. B no puede deducir su color y como había dos sombreros blancos solamente y los primeros prisioneros no pudieron decir su color pero debían tener colores mezclados así es como C pudo saber sin mucho esfuerzo que tenía sombrero rojo y no pudo ser engañado por el carcelero como los otros dos lo habían sido. 

EJERCICIOS PARA EL JUEVES



1. Haga tablas de verdad para las siguientes fórmulas:


(i) p&-q

(ii) q&-p

(iii) p--->q

(iv) q--->p

(v)  -(p&-q)




2. Definamos el concepto de equivalencia lógica del modo siguiente: dos fórmulas son equivalentes lógicamente si nunca (es decir, en ninguna posibilidad) reciben distinto valor. Más prácticamente, dos fórmulas son equivalentes si tienen el mismo "resultado" en las tablas de verdad.


(a) ¿Hay fórmulas lógicamente equivalentes en el ejercicio anterior? Justifique.
(b) Construya alguna fórmula que sea lógicamente equivalente a (i) (p&-q)

Solución a Ejercicios

p representa "Se hizo el asado",
q representa "Todos vinieron a casa"
r representa "Tuvimos que comprar más vino"

& es la conjunción (el triangulito sin base)
- representa la negación (¡no se lee "menos"; se lee "no", "no es cierto que", etc.!)


¿Qué frases castellanas representan las siguientes fórmulas de la lógica proposicional?:

(i) (p ---> q)

 Si se hizo el asado, entonces todos vinieron a casa.


(ii) (-q  v r)


No todos vinieron a casa o tuvimos que comprar más vino.



(iii) (-q ---> -p)


Si no todos vinieron a casa, entonces no se hizo el asado.

(iv) -r


 No tuvimos que comprar más vino.


(v) (-q ---> -r)


Si no todos vinieron a casa, entonces no tuvimos que comprar más vino.


(vi) (-p v -q) ----> -r


Si no se hizo el asado o no todos vinieron a casa, entonces no tuvimos que comprar más vino.


(vii) -(q--->-p)


No es cierto que si todos vinieron a casa entonces no se hizo el asado.


(viii) (-p & -q)

No se hizo el asado y no todos vinieron a casa.
(Equivalentemente: Ni se hizo el asado ni todos vinieron a casa)

(ix) -(p & -q)

No es cierto que se haya hecho el asado y que no todos hayan venido a casa.

Solución a ejercicios. Justificaciones omitidas; pueden encontrarlas leyendo blog o Romero&Valente o Copi.


1)  ¿V o F?  Justifique su opción en cada caso

(a)  Si la conclusión de un razonamiento válido es falsa, no pueden ser todas sus premisas verdaderas......V......
(b) A la lógica la interesa determinar si las oraciones que figuran en los razonamientos se ajustan a la realidad.....F.......
(c) La validez de un razonamiento depende de su contenido más que de su forma........F..........
(d) Un razonamiento inválido con premisas verdaderas debe tener conclusión falsa.....F.........

2) Abstraiga la forma del siguiente razonamiento. ¿Es válido? Justifique claramente su respuesta.

Ningún asalariado es futbolista
Algún obrero es asalariado.
(Por tanto,)
Algún futbolista no es obrero.

La forma lógica es:

Ningún A es B
Algún C es A
-----------------------------
Algún B no es C


El razonamiento evaluado es inválido, ya que su forma lógica es inválida,
Que es inválida puede mostrarse con el siguiente contraejemplo a la misma:


Ningún hombre es gorila (V)
Algún primate es hombre (V)
-------------------------------------------------
Algún gorila no es primate (F)

(¡Espero que no les queden dudas de que la segunda premisa es V!)

Ejercicios y soluciones en breve. Como ven, hay que ponerse a tiro... y rápido!

Hoy también desarrollamos una aproximación distinta (sin hacer uso de tablas ni de valuaciones) para mostrar que la conclusión se sigue de ciertas premisas: derivar dicha conclusión mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Una regla de inferencia es aquella que, dados uno o más enunciados previos, me permite obtener uno nuevo que se desprende de ellos. Por ejemplo, supongamos que en una discusión de sobremesa venimos aceptando (no importa por qué) esta afirmación:

 1. Si Clarín pasó por alto la noticia sobre la funcionalidad del ADN basura, entonces algún invitado del programa 678 acusará a los redactores de Clarín de anticientíficos.

Y alguien que leyó Clarín agrega esta segunda afirmación, que concedemos:

2. Clarín efectivamente pasó por alto la noticia sobre la funcionalidad del ADN basura.

¿Qué podemos decir para alargar la sobremesa con una conclusión pertinente? Evidentemente, concluir sobre la base de los dos enunciados anteriores:

3. Algún invitado del programa 678 acusará a los redactores de Clarín de anticientíficos.

Si simbolizamos lo que sucedió, tenemos lo siguiente. Un primer enunciado que simbolizamos con  "p--->q", un segundo que simbolizamos con "p", y luego, uno nuevo que inferimos de los anteriores, que es "q":

1. p--->q (premisa)

2. p         (premisa)

3. q     .......... "obtenido lógicamente" de 1 & 2.

La regla lógica que me permite concluir el paso 3 de 1 y 2 es una regla de inferencia que se llama MODUS PONENS, abreviado MP. En general, esta regla me dice que si en un paso tengo admitido algo de la forma

A-->B

y en otro paso (anterior o posterior, no importa) tengo admitido

A

es lógicamente lícito inferir

B

en un paso posterior. Es decir, si en un paso tengo admitido un condicional y en otro (anterior o posterior al mismo) tengo su ANTECEDENTE, puedo inferir su CONSECUENTE.

Entonces, podemos dar la explicación de por qué obtuvimos "q" en el paso 3 diciendo que aplicamos MP a los pasos 1 y 2:

1. p--->q (premisa)

2. p         (premisa)

3. q          MP 1,2

Esta sucesión de tres pasos es una DERIVACIÓN DE "q" A PARTIR DE LOS SUPUESTOS (O PREMISAS) "p--->q"   y "p".

Supongamos que ahora, como nuevo ejercicio, se nos pide analizar un razonamiento que, traducido al lenguaje de la lógica proposicional, tiene una conclusión "r" y los siguientes tres supuestos o premisas: "p-->(q-->r)", "p", y "q". Y se nos pide derivar dicha conclusión, "r", a partir de esos tres supuestos. Listemos entonces los supuestos sucesivamente:

1. p-->(q--->r)  (prem.)

2. p                   (prem.)

3. q                    (prem.)

Ahora hay que ver cómo sacar "r"  mediante reglas; y hete aquí que en este caso también eso puede hacerse aplicando solamente la regla MP.

¿Cómo? No puedo sacar "r" aplicando MP a 1 y 2 porque lo que sale aplicando MP a 1 y 2 es el consecuente de la fórmula que aparece como paso 1, y eso no es "r" sino "(q--->r)"!

Pero ya podemos vislumbrar la clave para resolver el problema: hacerlo por etapas. Primero obtengo "(q--->r)" de 1 y 2 por MP. Lo anoto como nuevo paso de la derivación:

1. p-->(q--->r) (prem.)

2. p                  (prem.)

3. q                  (prem.)

4. (q--->r)        MP 1, 2

Y esto me vino muy bien: noten que ahora puedo aplicar MP a 3 ("q") y 4 ("q--->r") para obtener r, con lo cual tengo lo que quería como paso final 5:

1. p-->(q--->r)   (prem.)

2. p                    (prem.)

3. q                     (prem.)

4. (q--->r)           MP 1, 2

5. r                      MP 3,4    

Listo.

La regla de MP, por suerte, no es la única regla que tenemos. Vamos a presentar (y hemos presentado) varias más. Pero una cosa muy importante debe quedar clara: todas estas reglas que vamos a ver no son arbitrarias, porque son reglas VÁLIDAS, en el siguiente sentido: si  aplico la regla MP (o cualquiera de las que veamos) a pasos previos para obtener uno nuevo, entonces, si esos pasos previos eran enunciados verdaderos, el nuevo enunciado será también verdadero, indefectiblemente. Esto quiere decir que si hago una aplicación sucesiva de reglas a partir de ciertas premisas para llegar a una conclusión (final), entonces, si las premisas de las que partí eran verdaderas, la conclusión  - no importa cuán "lejana" haya quedado - también debe serlo.

Entonces, para determinar que un razonamiento es válido, puedo apelar a las "tablas" de verdad y hacer cosas como una tabla de verdad conjunta de premisas y conclusión, o un llamado "condicional asociado" (esto lo vamos a ver en breve), o bien puedo listar las premisas del razonamiento y tratar de derivar la conclusión mediante aplicación sucesiva de reglas de inferencia como hicimos en estos ejemplos. Si logro hacer eso, sé que la conclusión dada es una consecuencia lógica de las premisas, y por tanto que el razonamiento es válido. En el ejemplo anterior, si piden mostrar la validez de un razonamiento de forma:

p-->(q--->r)   

p          

q                                      

_______________________________

 r                     

puedo hacer al menos tres cosas:

(i) arremangarme y hacer una engorrosa tabla de 8 filas, y constatar que ninguna fila es contraejemplo;

(ii) puedo pensar abstractamente  - y un poco más creativamente - por qué no puede haber contraejemplo en ninguna fila; esto se hace, en general, reduciendo al absurdo la posibilidad de que reciban V las premisas y F la conclusión (para esto también hay que saber las tablas de los conectivos.)

(iii) o bien, puedo mostrar su validez derivando la conclusión "r" a partir de las tres premisas dadas usando reglas de inferencia, en un total de 5 pasos, como hicimos más arriba.

En este ejemplo, el camino (iii), es decir, derivar aplicando reglas, es sin duda el más expeditivo, y quizás también el más fácil de "ver".

En general, hacer una derivación es menos soporífero que hacer una tabla de verdad, y muchas veces requiere cierta habilidad o capacidad de estrategia, lo cual lo hace más interesante.

Hoy presentamos las siguientes reglas:

* Modus ponens (explicada más arriba)

* Simplificación:

A&B

----------

A

o también:

A&B

-------

B

* Conjunción:

A

B

-----

A&B

o también:

B

A

-----

A&B

 *Adición

A 

----

AvB

o también:

A

-----

BvA

* Silogismo disyuntivo  (esta no la vimos aún):

A v B
-A
------------

B
 
También:

A v B
-B
-------------
 A

Hoy vimos ejercicios como éstos:

 

1) De las dos premisas

 

1. p --->(q&r)

2. p

 

Derivar mediante reglas: r

 

2) De las tres premisas:

 

1. (p&q) --->(s&r)

2. p

3. (q & t)

 

Derivar mediante reglas: s 

  

Comentario adicional. Cuando no sabemos de antemano si la conclusión que nos dan es realmente una consecuencia de las premisas, el mero hecho de haber probado varios intentos de derivación sin éxito no significa que la conclusión no sea consecuencia de las premisas: quizás hay una derivación posible de la conclusión, pero todavía no se nos ocurre.

Entonces, para determinar que una conclusión NO es deducible de las premisas (es decir, que el razonamiento no es válido) es recomendable resolver el asunto acudiendo a algún procedimiento, como las tablas de verdad, que me permiten encontrar una posibilidad en que las premisas tienen todas V y la conclusión F.

En general, los ejercicios de derivación van a tratar de razonamientos en que se nos asegura que la conclusión se deduce de las premisas, y en los cuales, por tanto, uno tiene la seguridad de que es posible hallar una derivación - y el problema es hallarla! Esto requiere de bastante práctica y de un poco de estrategia creativa.

Hoy también comenzamos a emplear la semántica proposicional (tablas de verdad, etc.) para evaluar la validez o invalidez de los razonamientos formulados en lógica proposicional. Al comenzar el curso habíamos caracterizado las formas válidas como aquellas que hacían lógicamente imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En otros términos, las formas válidas eran aquellas para las que no había ninguna posibilidad lógica de tener premisas V y conclusión F (ninguna posibilidad, pues, de contraejemplo).

Ahora vamos a traducir este concepto a la semántica proposicional, y diremos que una forma es válida si no hay ninguna posibilidad lógica (valuación) en que las premisas quedan todas V y la conclusión F. Estas "posibilidades" son, como ya sabemos, representadas por renglones de una tabla de verdad. Así, una forma de razonamiento es reconocida como válida si en ninguna valuación (renglón de tabla) nos quedan todas sus premisas V y su conclusión F. Si hay al menos una fila tal, la forma es inválida.


Esto nos permite determinar efectivamente si un razonamiento concreto formalizable en lógica proposicional es o no válido.

Ejemplo. Consideremos el razonamiento siguiente:


Si salimos con lluvia, nos mojamos.
No salimos con lluvia
Por tanto,
No nos mojamos

Formalizando el razonamiento (i.e. traduciéndolo al lenguaje de la lógica proposicional), queda la estructura siguiente

p--->q
-p
-------------
-q



(donde "p" representa "Salimos con lluvia" y "q" representa "Nos mojamos")

(Esto se lee:

Si p entonces q
No-p.
Por tanto,
No-q.)

Resulta que el razonamiento es inválido, dado que esta forma es inválida. Podemos dar contraejemplos "de entrecasa" para mostrar su invalidez. Por ejemplo:

Si Sofovich fue decapitado, entonces Sofovich murió. (V)
Sofovich no fue decapitado. (V)
Por tanto,
Sofovich no murió.   (F)


Muy bien, es inválida, tiene un contraejemplo que muestra que la forma en cuestión puede llevar de premisas V a conclusión F. Pero, ¿si no se nos ocurría ningún contraejemplo? Eso podría significar que tenemos muy poca imaginación, y no que la forma es inválida: el contraejemplo podría existir, sin que a nosotros se nos ocurra.

En otros términos: al manejarnos sólo con ejemplos intuitivos o "de entrecasa", tenemos sólo la posibilidad de mostrar INVALIDEZ  (si hallamos un contraejemplo) pero no de demostrar VALIDEZ (ya que no encontrar un contraejemplo no implica que no exista).


La situación cambia al analizar la cuestión con métodos de semántica proposicional (tablas de verdad, etc.), cmo hicimos hoy. Ahora estamos en condiciones de dar un análisis más efectivo - un CRITERIO EFECTIVO - para determinar si la forma es o no válida.

Eso lo hacemos como sigue.

Para continuar con nuestro ejemplo, las valuaciones ("posibilidades") relevantes para esta forma son 4, ya que sólo aparecen 2 letras distintas. Tras listar sucesivamente las premisas y la conclusión, evaluamos ésta y aquellas en cada fila (= renglón), y nos fijamos si hay alguna fila en que nos queden las premisas (todas) V y la conclusión F. Veámoslo pues fila por fila:


p   q      p--->q (1a prem.)    -p (2da prem.)    -q  (conclusión)

V V         V                           F                        F
V F          F                           F                        V
F V          V                           V                        F
F F          V                            V                        V


Vemos que en la tercera valuación (fila) nos quedan ambas premisas V y la conclusión F. Esto muestra que la forma es inválida. Es decir, el caso en que p es F y q es V hace verdaderas a las premisas y falsa a la conclusión, y por tanto proporciona un contraejemplo lógico a la forma evaluada. (Si, en cambio, no hubiera en la tabla ninguna valuación como ésta - premisas V y conclusión F -, la forma sería válida.)

Entonces, éste es un procedimientopara saber si un razonamiento proposicional es válido:

1) Formalizar: abstraer la forma lógica del razonamiento, traduciéndolo al lenguaje formal
2) Hacer una tabla conjunta para las premisas y la conclusión del razonamiento formalizado.
3) Buscar un posible contraejemplo lógico, es decir, vaulación/renglón en que las premisas sean todas V y la conclusión F.
4) ¿Hay una valuación tal? La forma es inválida (y por ello el razonamiento evaluado es inválido). ¿No hay una valuación tal? La forma es válida (y por tanto el razonamiento evaluado es válido).


Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

Marx escribió La filosofía de la miseria o escribió La lucha de clases en Francia.
Marx no escribió La filosofía de la miseria
Por tanto,
Marx escribió La lucha de clases en Francia.


La forma lógica es:


p v q
-p
----------
q


(donde "p" representa "Marx escribió La filosofía de la miseria" y "q" representa "Marx escribió La lucha de clases en Francia".)


Sigamos el procedimiento que mencionamos anteriormente para determinar si esta forma es válida:


p   q      p v q (1a prem.)     -p (2da prem.)     q  (conclusión)

V V         V                           F                        V
V F          V                           F                        F
F V          V                           V                        V
F F          F                            V                       F

 


¿Hay algún contraejemplo lógico? No. En los únicos renglones en que la conclusión es F (renglones II y IV), al menos una premisa es también F. Por tanto, al carecer de contraejemplos, la forma es válida, y el razonamiento original (que tenía esa forma) es por ello válido. (De hecho, esta forma válida de razonar es llamada silogismo disyuntivo y su validez ya era reconocida por los filósofos estoicos griegos, siglo 3 a.C.)



En estos ejercicios, ¿hay posibilidad de que exista un contraejemplo lógico y no lo encuentre? No deberia, porque la tabla es una lista FINITA de renglones. Sólo hay que inspeccionarla rengón por renglón, y la inspección de cada renglón es una tarea efectiva (no requiere pensamiento sino mera constatación mecánica). Obviamente, esto presupone que uno sabe hacer las tablas bien, pero esto es también una tarea efectiva (no requiere pensar, sino seguir procedimientos mecánicos). Una computadora puede hacerlo perfectamente (y mucho más rápido que nosotros).


Curiosamente, cuando pasamos a un nivel superior de la lógica (la lógica cuantificacional, que no hemos estudiado), la tarea de determinar si una forma es válida no es, en general, mecánica: no hay máquina que pueda librarnos de la difícil pero fascinante tarea de pensar creativamente al evaluar la validez de una forma de razonamiento, es decir, al evaluar si una conclusión se sigue o no de un conjunto de premisas. Que la tarea de decidir en general si una conclusión se sigue o no de un conjunto de premisas NO es una tarea mecánica - que no puede ser resuelto por computadoras -  es lo que se conoce como teorema de Church, por Alonzo Church, el matematico estadounidense que lo demostró allá por 1936.

Hoy y la clase pasada continuamos con algunos temas de lógica proposicional: su vocabulario y los significados de los conectivos lógicos más usuales, a saber:

 la conjunción (que por comodidad voy a representar en el blog con el signo ampersand "&"), 
 la disyunción incluyente "v", 
 el condicional "---->", 
 el bicondicional "<---->",
 la negación, que por comodidad voy a representar acá con un palito "-".

Bueno, el bicondicional no lo vimos ni lo vamos a usar mucho, pero lo dejo.

Dimos una explicación de las condiciones en que son verdaderas (V) o falsas (F) las fórmulas que usan estos conectivos, y vimos que la verdad o falsedad de las mismas dependen exclusivamente (son función de) la verdad o falsedad de las dos fórmulas que las componen (en el caso de la negación, hay una sola fórmula a partir de la que surge, no dos). Vimos en particular que:

A&B es verdadera en caso que tanto A como B sean verdaderas; si no, es falsa.
A v B es falsa sólo en caso que tanto A como B sean falsas; si no, es verdadera.
A--->B es falsa sólo en caso que A sea verdadera y B falsa; si no, es verdadera.
A <--> B es verdadera si los valores de A y B coinciden; si no, es falsa (esto no lo llegamos a ver, en verdad, pero lo dejo consignado)
-A es verdadera si A es falsa; y es falsa si A es verdadera.

Estas condiciones quedan codificadas en las tablas o reglas de valuación para los conectivos.

Por ejemplo, para la negación tenemos:

A    -A
V     F
F     V

¿Cómo realizar tablas de verdad para fórmulas cualesquiera que hayan sido formadas usando las letras proposicionales p, q, etc. y los conectivos? Se procede de lo mas simple a lo más complejo, precisamente porque para evaluar lo más complejo (fórmula más abarcante) es preciso saber antes qué valor tienen las fórmulas ligeramente más simples que ella coordina: para saber p.ej. qué valor hay que asignar a "p&-q" debo saber antes los valores de "p" y de "-q"; y a su vez, para asignar el valor a "-q" tuve que asignar antes el valor a "q". Como vemos, el proceso debe comenzar por las letras p, q, etc. y se va "ascendiendo" a las fórmulas más complejas hasta evaluar la fórmula total.

En este caso la "tabla", de 4 renglones, quedaría:


p  q     p  &  -q
V  V    V   F  F
V  F    V   V  V
F  V    F    F  F
F  F     F   F  V

Es decir, p&-q queda V sólo en el segundo renglón (cuando p es V y q F); en todos los demas, queda F. Noten que la evaluación final queda debejo del conectivo principal de la fórmula (&). Pueden consultar el tema "tablas de verdad" en Copi o googleando o en yt.

Vimos que si en las fórmulas a evaluar hay 1 sola letra, tenemos que considerar 2 posibilidades, si hay dos letras distintas, 4 posibilidades... etc: si hay n letras distintas, debemos considerar 2^n (dos elevado a la n) posibilidades. Estas posibilidades reciben a veces el nombre de "valuaciones". 

 Ejercicio de rutina:

Hacer una tabla para la siguiente fórmula:

-(-p & q)   (es decir: No: nop y q)