Hoy también desarrollamos una aproximación distinta (sin hacer uso de tablas ni de valuaciones) para mostrar que la conclusión se sigue de ciertas premisas: derivar dicha conclusión mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Una regla de inferencia es aquella que, dados uno o más enunciados previos, me permite obtener uno nuevo que se desprende de ellos. Por ejemplo, supongamos que en una discusión de sobremesa venimos aceptando (no importa por qué) esta afirmación:

 1. Si Clarín pasó por alto la noticia sobre la funcionalidad del ADN basura, entonces algún invitado del programa 678 acusará a los redactores de Clarín de anticientíficos.

Y alguien que leyó Clarín agrega esta segunda afirmación, que concedemos:

2. Clarín efectivamente pasó por alto la noticia sobre la funcionalidad del ADN basura.

¿Qué podemos decir para alargar la sobremesa con una conclusión pertinente? Evidentemente, concluir sobre la base de los dos enunciados anteriores:

3. Algún invitado del programa 678 acusará a los redactores de Clarín de anticientíficos.

Si simbolizamos lo que sucedió, tenemos lo siguiente. Un primer enunciado que simbolizamos con  "p--->q", un segundo que simbolizamos con "p", y luego, uno nuevo que inferimos de los anteriores, que es "q":

1. p--->q (premisa)

2. p         (premisa)

3. q     .......... "obtenido lógicamente" de 1 & 2.

La regla lógica que me permite concluir el paso 3 de 1 y 2 es una regla de inferencia que se llama MODUS PONENS, abreviado MP. En general, esta regla me dice que si en un paso tengo admitido algo de la forma

A-->B

y en otro paso (anterior o posterior, no importa) tengo admitido

A

es lógicamente lícito inferir

B

en un paso posterior. Es decir, si en un paso tengo admitido un condicional y en otro (anterior o posterior al mismo) tengo su ANTECEDENTE, puedo inferir su CONSECUENTE.

Entonces, podemos dar la explicación de por qué obtuvimos "q" en el paso 3 diciendo que aplicamos MP a los pasos 1 y 2:

1. p--->q (premisa)

2. p         (premisa)

3. q          MP 1,2

Esta sucesión de tres pasos es una DERIVACIÓN DE "q" A PARTIR DE LOS SUPUESTOS (O PREMISAS) "p--->q"   y "p".

Supongamos que ahora, como nuevo ejercicio, se nos pide analizar un razonamiento que, traducido al lenguaje de la lógica proposicional, tiene una conclusión "r" y los siguientes tres supuestos o premisas: "p-->(q-->r)", "p", y "q". Y se nos pide derivar dicha conclusión, "r", a partir de esos tres supuestos. Listemos entonces los supuestos sucesivamente:

1. p-->(q--->r)  (prem.)

2. p                   (prem.)

3. q                    (prem.)

Ahora hay que ver cómo sacar "r"  mediante reglas; y hete aquí que en este caso también eso puede hacerse aplicando solamente la regla MP.

¿Cómo? No puedo sacar "r" aplicando MP a 1 y 2 porque lo que sale aplicando MP a 1 y 2 es el consecuente de la fórmula que aparece como paso 1, y eso no es "r" sino "(q--->r)"!

Pero ya podemos vislumbrar la clave para resolver el problema: hacerlo por etapas. Primero obtengo "(q--->r)" de 1 y 2 por MP. Lo anoto como nuevo paso de la derivación:

1. p-->(q--->r) (prem.)

2. p                  (prem.)

3. q                  (prem.)

4. (q--->r)        MP 1, 2

Y esto me vino muy bien: noten que ahora puedo aplicar MP a 3 ("q") y 4 ("q--->r") para obtener r, con lo cual tengo lo que quería como paso final 5:

1. p-->(q--->r)   (prem.)

2. p                    (prem.)

3. q                     (prem.)

4. (q--->r)           MP 1, 2

5. r                      MP 3,4    

Listo.

La regla de MP, por suerte, no es la única regla que tenemos. Vamos a presentar (y hemos presentado) varias más. Pero una cosa muy importante debe quedar clara: todas estas reglas que vamos a ver no son arbitrarias, porque son reglas VÁLIDAS, en el siguiente sentido: si  aplico la regla MP (o cualquiera de las que veamos) a pasos previos para obtener uno nuevo, entonces, si esos pasos previos eran enunciados verdaderos, el nuevo enunciado será también verdadero, indefectiblemente. Esto quiere decir que si hago una aplicación sucesiva de reglas a partir de ciertas premisas para llegar a una conclusión (final), entonces, si las premisas de las que partí eran verdaderas, la conclusión  - no importa cuán "lejana" haya quedado - también debe serlo.

Entonces, para determinar que un razonamiento es válido, puedo apelar a las "tablas" de verdad y hacer cosas como una tabla de verdad conjunta de premisas y conclusión, o un llamado "condicional asociado" (esto lo vamos a ver en breve), o bien puedo listar las premisas del razonamiento y tratar de derivar la conclusión mediante aplicación sucesiva de reglas de inferencia como hicimos en estos ejemplos. Si logro hacer eso, sé que la conclusión dada es una consecuencia lógica de las premisas, y por tanto que el razonamiento es válido. En el ejemplo anterior, si piden mostrar la validez de un razonamiento de forma:

p-->(q--->r)   

p          

q                                      

_______________________________

 r                     

puedo hacer al menos tres cosas:

(i) arremangarme y hacer una engorrosa tabla de 8 filas, y constatar que ninguna fila es contraejemplo;

(ii) puedo pensar abstractamente  - y un poco más creativamente - por qué no puede haber contraejemplo en ninguna fila; esto se hace, en general, reduciendo al absurdo la posibilidad de que reciban V las premisas y F la conclusión (para esto también hay que saber las tablas de los conectivos.)

(iii) o bien, puedo mostrar su validez derivando la conclusión "r" a partir de las tres premisas dadas usando reglas de inferencia, en un total de 5 pasos, como hicimos más arriba.

En este ejemplo, el camino (iii), es decir, derivar aplicando reglas, es sin duda el más expeditivo, y quizás también el más fácil de "ver".

En general, hacer una derivación es menos soporífero que hacer una tabla de verdad, y muchas veces requiere cierta habilidad o capacidad de estrategia, lo cual lo hace más interesante.

Hoy presentamos las siguientes reglas:

* Modus ponens (explicada más arriba)

* Simplificación:

A&B

----------

A

o también:

A&B

-------

B

* Conjunción:

A

B

-----

A&B

o también:

B

A

-----

A&B

 *Adición

A 

----

AvB

o también:

A

-----

BvA

* Silogismo disyuntivo  (esta no la vimos aún):

A v B
-A
------------

B
 
También:

A v B
-B
-------------
 A

Hoy vimos ejercicios como éstos:

 

1) De las dos premisas

 

1. p --->(q&r)

2. p

 

Derivar mediante reglas: r

 

2) De las tres premisas:

 

1. (p&q) --->(s&r)

2. p

3. (q & t)

 

Derivar mediante reglas: s 

  

Comentario adicional. Cuando no sabemos de antemano si la conclusión que nos dan es realmente una consecuencia de las premisas, el mero hecho de haber probado varios intentos de derivación sin éxito no significa que la conclusión no sea consecuencia de las premisas: quizás hay una derivación posible de la conclusión, pero todavía no se nos ocurre.

Entonces, para determinar que una conclusión NO es deducible de las premisas (es decir, que el razonamiento no es válido) es recomendable resolver el asunto acudiendo a algún procedimiento, como las tablas de verdad, que me permiten encontrar una posibilidad en que las premisas tienen todas V y la conclusión F.

En general, los ejercicios de derivación van a tratar de razonamientos en que se nos asegura que la conclusión se deduce de las premisas, y en los cuales, por tanto, uno tiene la seguridad de que es posible hallar una derivación - y el problema es hallarla! Esto requiere de bastante práctica y de un poco de estrategia creativa.