Hoy también comenzamos a emplear la semántica proposicional (tablas de verdad, etc.) para evaluar la validez o invalidez de los razonamientos formulados en lógica proposicional. Al comenzar el curso habíamos caracterizado las formas válidas como aquellas que hacían lógicamente imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En otros términos, las formas válidas eran aquellas para las que no había ninguna posibilidad lógica de tener premisas V y conclusión F (ninguna posibilidad, pues, de contraejemplo).

Ahora vamos a traducir este concepto a la semántica proposicional, y diremos que una forma es válida si no hay ninguna posibilidad lógica (valuación) en que las premisas quedan todas V y la conclusión F. Estas "posibilidades" son, como ya sabemos, representadas por renglones de una tabla de verdad. Así, una forma de razonamiento es reconocida como válida si en ninguna valuación (renglón de tabla) nos quedan todas sus premisas V y su conclusión F. Si hay al menos una fila tal, la forma es inválida.


Esto nos permite determinar efectivamente si un razonamiento concreto formalizable en lógica proposicional es o no válido.

Ejemplo. Consideremos el razonamiento siguiente:


Si salimos con lluvia, nos mojamos.
No salimos con lluvia
Por tanto,
No nos mojamos

Formalizando el razonamiento (i.e. traduciéndolo al lenguaje de la lógica proposicional), queda la estructura siguiente

p--->q
-p
-------------
-q



(donde "p" representa "Salimos con lluvia" y "q" representa "Nos mojamos")

(Esto se lee:

Si p entonces q
No-p.
Por tanto,
No-q.)

Resulta que el razonamiento es inválido, dado que esta forma es inválida. Podemos dar contraejemplos "de entrecasa" para mostrar su invalidez. Por ejemplo:

Si Sofovich fue decapitado, entonces Sofovich murió. (V)
Sofovich no fue decapitado. (V)
Por tanto,
Sofovich no murió.   (F)


Muy bien, es inválida, tiene un contraejemplo que muestra que la forma en cuestión puede llevar de premisas V a conclusión F. Pero, ¿si no se nos ocurría ningún contraejemplo? Eso podría significar que tenemos muy poca imaginación, y no que la forma es inválida: el contraejemplo podría existir, sin que a nosotros se nos ocurra.

En otros términos: al manejarnos sólo con ejemplos intuitivos o "de entrecasa", tenemos sólo la posibilidad de mostrar INVALIDEZ  (si hallamos un contraejemplo) pero no de demostrar VALIDEZ (ya que no encontrar un contraejemplo no implica que no exista).


La situación cambia al analizar la cuestión con métodos de semántica proposicional (tablas de verdad, etc.), cmo hicimos hoy. Ahora estamos en condiciones de dar un análisis más efectivo - un CRITERIO EFECTIVO - para determinar si la forma es o no válida.

Eso lo hacemos como sigue.

Para continuar con nuestro ejemplo, las valuaciones ("posibilidades") relevantes para esta forma son 4, ya que sólo aparecen 2 letras distintas. Tras listar sucesivamente las premisas y la conclusión, evaluamos ésta y aquellas en cada fila (= renglón), y nos fijamos si hay alguna fila en que nos queden las premisas (todas) V y la conclusión F. Veámoslo pues fila por fila:


p   q      p--->q (1a prem.)    -p (2da prem.)    -q  (conclusión)

V V         V                           F                        F
V F          F                           F                        V
F V          V                           V                        F
F F          V                            V                        V


Vemos que en la tercera valuación (fila) nos quedan ambas premisas V y la conclusión F. Esto muestra que la forma es inválida. Es decir, el caso en que p es F y q es V hace verdaderas a las premisas y falsa a la conclusión, y por tanto proporciona un contraejemplo lógico a la forma evaluada. (Si, en cambio, no hubiera en la tabla ninguna valuación como ésta - premisas V y conclusión F -, la forma sería válida.)

Entonces, éste es un procedimientopara saber si un razonamiento proposicional es válido:

1) Formalizar: abstraer la forma lógica del razonamiento, traduciéndolo al lenguaje formal
2) Hacer una tabla conjunta para las premisas y la conclusión del razonamiento formalizado.
3) Buscar un posible contraejemplo lógico, es decir, vaulación/renglón en que las premisas sean todas V y la conclusión F.
4) ¿Hay una valuación tal? La forma es inválida (y por ello el razonamiento evaluado es inválido). ¿No hay una valuación tal? La forma es válida (y por tanto el razonamiento evaluado es válido).


Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

Marx escribió La filosofía de la miseria o escribió La lucha de clases en Francia.
Marx no escribió La filosofía de la miseria
Por tanto,
Marx escribió La lucha de clases en Francia.


La forma lógica es:


p v q
-p
----------
q


(donde "p" representa "Marx escribió La filosofía de la miseria" y "q" representa "Marx escribió La lucha de clases en Francia".)


Sigamos el procedimiento que mencionamos anteriormente para determinar si esta forma es válida:


p   q      p v q (1a prem.)     -p (2da prem.)     q  (conclusión)

V V         V                           F                        V
V F          V                           F                        F
F V          V                           V                        V
F F          F                            V                       F

 


¿Hay algún contraejemplo lógico? No. En los únicos renglones en que la conclusión es F (renglones II y IV), al menos una premisa es también F. Por tanto, al carecer de contraejemplos, la forma es válida, y el razonamiento original (que tenía esa forma) es por ello válido. (De hecho, esta forma válida de razonar es llamada silogismo disyuntivo y su validez ya era reconocida por los filósofos estoicos griegos, siglo 3 a.C.)



En estos ejercicios, ¿hay posibilidad de que exista un contraejemplo lógico y no lo encuentre? No deberia, porque la tabla es una lista FINITA de renglones. Sólo hay que inspeccionarla rengón por renglón, y la inspección de cada renglón es una tarea efectiva (no requiere pensamiento sino mera constatación mecánica). Obviamente, esto presupone que uno sabe hacer las tablas bien, pero esto es también una tarea efectiva (no requiere pensar, sino seguir procedimientos mecánicos). Una computadora puede hacerlo perfectamente (y mucho más rápido que nosotros).


Curiosamente, cuando pasamos a un nivel superior de la lógica (la lógica cuantificacional, que no hemos estudiado), la tarea de determinar si una forma es válida no es, en general, mecánica: no hay máquina que pueda librarnos de la difícil pero fascinante tarea de pensar creativamente al evaluar la validez de una forma de razonamiento, es decir, al evaluar si una conclusión se sigue o no de un conjunto de premisas. Que la tarea de decidir en general si una conclusión se sigue o no de un conjunto de premisas NO es una tarea mecánica - que no puede ser resuelto por computadoras -  es lo que se conoce como teorema de Church, por Alonzo Church, el matematico estadounidense que lo demostró allá por 1936.