Hoy también terminamos de ver el capítulo 2 de Hempel en relación con la inexistencia de métodos mecánicos de descubrimiento y validación de teorías científicas.
Hoy nos referimos en especial a las Ciencias matemáticas. Dimos varios ejemplos de conjeturas matemáticas sencillas de entender (conjetura de Collatz, conjetura de Goldbach, conjetura de los primos gemelos) que, a pesar de los mejores esfuerzos de los mejores matemáticos durante siglos, no han podido ser demostradas (ni refutadas) hasta hoy.
Mencionamos dos teoremas lógicos que echan luz sobre esta temática: el teorema de incompletitud de Gödel y el teorema de Church. El primero nos dice que en cualquier sistema matemático como el que usamos al evaluar las conjeturas anteriormente mencionadas hay enunciados que no pueden demostrarse ni refutarse; nuestras premisas y reglas nunca alcanzan para demostrar todos los enunciados verdaderos del sistema. Esto quiere decir que podría suceder que alguna de las conjeturas que intentamos denodadamente demostrar no sea realmente demostrable, aun cuando sea verdadera!
El teorema de Church a su vez nos dice que la inferencia lógica que usamos en matemática no es mecanizable: no hay métodos computacionales que permitan determinar si un enunciado cualquiera es o no consecuencia lógica de un conjunto de premisas. Esto significa que para saber si un enunciado matemático es un teorema (es decir, demostrable), debemos intentar hallar la prueba con nuestra creatividad y sin poder delegar nuestro problema en una computadora.