Lo siguiente es una explicación del razonamiento por reducción al absurdo como regla formal de inferencia, que vimos hoy. 

Destilemos la estructura de un razonamiento por el absurdo, con el cual ya tenemos cierta familiaridad. Si nos dan ciertas premisas, digamos P1, P2, ..., Pn, ¿en qué consiste derivar de ellas una proposición -A (negación de A) por el absurdo? Por lo que ya vimos, consiste en agregar como supuesto "A" y derivar de todo ello una inconsistencia o contradicción (absurdo). Cuando logro esto, puedo inferir -A de las premisas.

(Notemos que derivar una contradicción significa que un paso obtenido bajo el supuesto de A es contradictorio con otro, y esto acá significa que uno de estos pasos es la estricta negación del otro. Cuando se genera esta situación (que un paso quede contradictorio con otro), lo notamos con el símbolo de una T invertida, que significa: hay una contradicción; en el blog vamos a usar el signo de admiración ! en lugar de la T invertida.)

Apliquemos esto a las derivaciones lógicas para mostrar cómo usar reducción al absurdo como regla formal de inferencia. Empecemos con un ejemplo ya dado en clase: De las dos premisas "-(p&q)" y "p", derivar por el absurdo "-q". Listemos las dos premisas:

1. -(p&q)   (premisa)

2.   p         (premisa)

Como hay que probar "-q" por el absurdo, lo que debo hacer es mostrar que la suposición contraria a ella, es decir, "q", cuando se agrega a 1 y 2, lleva a contradicción. Entonces agrego "q" como supuesto adicional, con el objeto de obtener alguna contradicción. (A ese supuesto adicional se lo llama "Hipótesis del absurdo", "H.A.") Para anotar que se trata de un supuesto o hipótesis que quiero refutar, y no una de las premisas o datos del problema, antepongo una línea (no confundir con la línea de "por tanto") y entonces queda:

1. -(p&q)   (premisa)

2. p           (premisa)  

--------------------------------

3. q   H.A

Ahora hay que deducir un absurdo (es decir, que un paso quede como la negación de algún otro anterior o posterior), usando todo lo que tenemos. Y esto es bastante fácil. Advierto que de 2 y 3 puedo obtener, por la regla C, "(p&q)":

1. -(p&q)   (premisa)

2. p           (premisa)

--------------------------------

3. q   H.A

4. (p&q)    C 2,3

Y ya logré obtener la contradicción buscada: el paso 1 contradice al 4, ya que 1 es la negación estricta de 4. Hecho esto, "declaro" que he llegado a contradicción mediante la T invertida (aquí "!"), y aclaro entre paréntesis cuáles son los pasos que se contradicen:

1. -(p&q)   (premisa)

2. p          (premisa)

--------------------------------

3. q  H.A.

4. (p&q)   C 2,3

5.  !          (1, 4)

Entonces dibujo el rectángulo que abarca los pasos 3-5 e infiero "-q" por reducción al absurdo (RAA)

1. -(p&q)   (premisa)

2. p           (premisa)

--------------------------------

3. q   H.A.

4. (p&q) C 2,3

5. !         (1, 4)

--------------------------------

6. -q    RAA  3-5       

Para no perder el contenido intuitivo de esta regla, fíjense lo que les está diciendo el rectángulo que va de 3 a 5:  que si, adicionalmente a 1 y 2, yo SUPUSIERA "q", esto generaría una contradicción, en este caso con la premisa 1 (y me muestra además cómo se generaría); no puedo agregar "q" a 1 y 2 sin generar inconsistencias. Por tanto, si acepto 1 y 2, NO PUEDO aceptar q sin caer en contradicción. Esto quiere decir que, para mantener la consistencia, 1 y 2 me obligan a rechazar "q", es decir, me autorizan a inferir "-q".

Resumiendo. Estrategia de reducción al absurdo: para demostrar -A por el absurdo a partir de ciertas premisas P1, P2, ..., Pn, les agrego A como supuesto provisorio y procuro tras ello llegar a una contradicción. Esquemáticamente:

P1

P2

...

Pn            a derivarse: -A

-------------------------- (abro rectángulo)

A    (supongo A como Hip.Abs.)

...   

      (aplico reglas hasta que queden 2 pasos contradictorios entre sí)

!

-------------------------- (cierro rectángulo)

-A          (infiero -A)   RAA

Nota importante: los dos pasos contradictorios que son necesarios para declarar que hemos llegado a un absurdo deben ser tales que uno de ellos ES LA NEGACIÓN DEL OTRO. No es que sea uno parecido al otro pero con alguna o algunas negaciones más; sintácticamente hablando, uno debe ser idéntico al otro excepto que tiene una negación adelante (como primer símbolo). Por ejemplo, el siguiente par de fórmulas me permite declarar que llegué a una contradicción:

(p&-q)
-(p&-q) 

El siguiente también:

-s
--s 

Pero el siguiente no:

(p&-q)
(-p&-q)   

Y este tampoco:


-(p v q)

(-p v -q)



Dejo 6 ejercicios para hacer para jueves, todos derivaciones que usan RAA

De la o las premisas indicadas, derivar la conclusión indicada.


1. p--->q (prem.) derivar:  -(p&-q)


1. p&q  (prem.) derivar: -(p--->-q)


1. -(pvq) (prem.)  derivar:  (-p &-q)   (sugerencia: derive -p y - q por separado usando en ambos casos una RAA; luego únalas en conjunción mediante C)


1. -p  (prem.)     derivar   -(p&q)


1. (pvq) --->r  (prem.)
2. -r      (prem.)          derivar -q&-p (sugerencia: ver sugerencia anterior)


1. p--->(q&r)  (prem.)
2. p --->(-q & r)  (prem.) derivar:   -p